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Actually ne signifie pas #171; actuellement #187;, ni eventually #171; #233;ventuellement #187; ; an advertisement et advertising n'ont pas le m#234;me sens, remember et remind ne s'emploient pas dans les m#234;mes cas ni avec les m#234;mes constructions.Faux amis, gallicismes, confusions orthographiques, fautes de conjugaison : les lyc#233;ens et les #233;tudiants fran#231;ais tombent trop souvent dans les m#234;mes pi#232;ges.Les auteurs ont s#233;lectionn#233; les fautes les plus fr#233;quentes de leurs #233;l#232;ves de Terminale et de leurs #233;tudiants.En 365 entr#233;es, chacune avec solution, explication et phrase d'application corrig#233;e, ils proposent un entra#238;nement s#233;rieux #224; tous ceux qui souhaitent progresser vers le succ#232;s : il suffit de corriger, chaque jour, une erreur !
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Ce cours sur la r#233;duction des endomorphismes, accompagn#233; de 30 exercices d'application et de deux probl#232;mes extraits de concours, permet de d#233;couvrir ou de r#233;viser cette partie du programme d'alg#232;bre lin#233;aire. Il s'adresse aux #233;tudiants de licence qui pourront d#233;couvrir les notions de valeurs propres, de vecteurs propres, la diagonalisation et la trigonalisation des matrices carr#233;es, puis le Th#233;or#232;me de Cayley-Hamilton, la r#233;duction par bloc, le Th#233;or#232;me de Dunford, pour terminer sur la r#233;duction sous la forme de Jordan. Ce livre s'adresse aussi en priorit#233; #224; tous ceux qui ont besoin de r#233;viser cette partie du cours en prenant le maximum de recul, pour pr#233;parer un concours ou un examen. Les notions sont abord#233;es de fa#231;on simple et claire, les exercices sont vari#233;s et permettent de s'entra#238;ner dans des directions diff#233;rentes, et un chapitre sp#233;cial a #233;t#233; ajout#233; pour proposer des applications vari#233;es de la r#233;duction des endomorphismes sans h#233;siter #224; donner toutes les pr#233;cisions utiles qui rendront ces applications transparentes. La r#233;duction d'endomorphisme peut donner lieu #224; des questions #224; l'#233;crit du CAPES, comme on le voit avec le premier probl#232;me propos#233; au chapitre 7, extrait du CAPES externe 2014 anticip#233;. Si l'on pr#233;pare le CAPES, on se bornera #224; bien travailler le cours minimum, c'est-#224;-dire les chapitres 1, 2, 3 et 4 en #233;vitant de traiter le chapitre 5 sur la r#233;duction de Jordan, puis on s'attaquera #224; quelques exercices sans oublier de traiter les deux probl#232;mes du dernier chapitre. Si l'on pr#233;pare l'agr#233;gation interne, et a fortiori l'externe, il est conseill#233; de tout lire et de tout travailler, en insistant sur les applications fondamentales rassembl#233;es au chapitre 6. Je souhaite que le lecteur prenne autant de plaisir #224; lire ce volume 8 de la collection des DOSSIERS MATHEMATIQUES que j'ai eu de plaisir #224; le travailler et #224; le construire !
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Ce livre propose un panorama pr#233;cis des diff#233;rentes m#233;thodes de raisonnement que l'on rencontre en math#233;matiques. Les syllogismes d'Aristote sont le point de d#233;part d'un voyage dans les contr#233;es du raisonnement d#233;ductif et de son utilisation. D'autres modes de raisonnements seront abord#233;s, comme les raisonnements inductifs et abductifs, pour arriver #224; mieux comprendre la particularit#233; des sciences logico-d#233;ductives. Agr#233;ment#233; de 74 exemples propos#233;s sous forme d'exercices de difficult#233;s vari#233;es, corrig#233;s et comment#233;s avec soin, ce septi#232;me volume de la collection des DOSSIERS MATHEMATIQUES est l'occasion de faire le point sur les m#233;thodes dont on dispose en math#233;matiques pour chercher, raisonner, et r#233;diger. La plupart des exercices propos#233;s demandent d'avoir au moins suivi la fili#232;re scientifique des lyc#233;es, m#234;me si des connaissances math#233;matiques des deux premi#232;res ann#233;es de licence sont souhaitables pour une lecture facilit#233;e de certains passages. Comme l'a #233;crit Epicure dans sa Lettre #224; M#233;n#233;c#233;e : #171; Il vaut mieux #233;chouer par mauvaise fortune, apr#232;s avoir bien raisonn#233;, que r#233;ussir par heureuse fortune, apr#232;s avoir mal raisonn#233; #187;. Mais que veut dire #171; bien raisonner #187; ? Apr#232;s un premier chapitre qui rappelle ce que sont les syllogismes, les paralogismes et les sophismes, on trouvera une description concise du raisonnement d#233;ductif, avec quelques rappels concernant les tables de v#233;rit#233;, les pr#233;dicats et les quantificateurs. Le chapitre 3 d#233;crit sept raisonnements tr#232;s utilis#233;s en math#233;matiques : - Raisonner directement en d#233;duisant syst#233;matiquement les affirmations les unes des autres est un moyen de proc#233;der, m#234;me s'il s'av#232;re judicieux de casser ce sch#233;ma pour permettre d'#234;tre plus cr#233;atif, par exemple en commen#231;ant par la conclusion. - Raisonner par disjonction de cas est parfois incontournable, comme le sugg#232;re un paradoxe de Lewis Carroll ou l'exercice sur les chevaliers et les gueux. - Un contre-exemple suffit pour infirmer une propri#233;t#233; pr#233;sent#233;e comme g#233;n#233;rale. - Raisonner par contrapos#233;e peut #234;tre utile, mais l'int#233;r#234;t majeur de la prise de la contrapos#233;e d'une implication r#233;side plut#244;t dans la capacit#233; de r#233;#233;crire une affirmation de fa#231;on totalement nouvelle et insoup#231;onn#233;e. - Le raisonnement par l'absurde remplace avec bonheur l'utilisation de la contrapos#233;e en offrant plus de souplesse et de libert#233;. On se posera cependant la question de savoir pourquoi le raisonnement par l'absurde est souvent mal aim#233; quand il s'agit d'#233;crire une d#233;monstration. - Il est impossible de se passer du raisonnement par analyse-synth#232;se tant celui-ci permet de d#233;buter une recherche tout en offrant une m#233;thode de construction des objets auxquels on s'int#233;resse. - En dernier lieu, on #233;tudiera le raisonnement par r#233;currence qui donne un sens #224; des propositions qui touchent #224; une infinit#233; de d#233;clarations. Un dernier chapitre s'int#233;resse #224; l'enseignement du raisonnement, qu'il ne faut pas trop vite confondre avec la pratique de la d#233;monstration. L'apprentissage du raisonnement devrait #234;tre l'un des objectifs principaux de l'enseignement des math#233;matiques, conjointement #224; l'acquisition de tout un panel de savoirs structur#233;s construits sur des r#233;sultats que l'on aura d#233;montr#233;s, ou du moins justifi#233;s de la fa#231;on la plus rigoureuse possible #224; un niveau d'enseignement donn#233;.
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