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Ce livre, qui permet de revisiter les th#233;or#232;mes de g#233;om#233;trie pr#233;sent#233;s au coll#232;ge et se replonger dans les d#233;monstrations que l'on peut proposer #224; ce niveau, nous m#232;ne beaucoup plus loin en s'autorisant #224; d#233;passer le cadre strict du coll#232;ge pour analyser ces th#232;mes et r#233;fl#233;chir sur la validit#233; des preuves propos#233;es. Il s'adresse en priorit#233; aux enseignants et aux #233;tudiants en licence de math#233;matiques qui d#233;sirent revoir en profondeur les th#232;mes g#233;om#233;triques du coll#232;ge en utilisant leurs connaissances et en exer#231;ant leur esprit critique. Ce livre d#233;veloppe aussi une axiomatique simplifi#233;e adapt#233;e aux premiers pas dans cette discipline, qui satisfera l'enseignant et permettra de penser la progression sur les quatre ann#233;es du coll#232;ge. On y trouvera aussi : - des r#233;flexions sur la fa#231;on de pr#233;senter et d'expliquer les notions #224; ce niveau, comme par exemple cette pr#233;sentation des quadrilat#232;res usuels qui s'enseigne tr#232;s bien en sixi#232;me et cinqui#232;me en facilitant la compr#233;hension des #233;l#232;ves. - des r#233;ponses #224; certaines questions sur la l#233;gitimit#233; des d#233;finitions propos#233;es, comme cette d#233;finition d'un cosinus d'un angle aigu qui d#233;pendrait du triangle rectangle utilis#233;. - une analyse des simplifications et des abus de langage utilis#233;s pour simplifier le discours #224; ce niveau, par exemple #224; l'occasion de la d#233;finition d'un angle g#233;om#233;trique ou d'un arc intercept#233; par un angle au centre. - des preuves compl#232;tes et d#233;velopp#233;es, avec des compl#233;ments d'information et de nombreuses remarques. Un chapitre complet sur l'utilisation des aires comme un outil de d#233;monstration et une annexe cons#233;quente compl#232;tent cet ouvrage. Apr#232;s les premiers axiomes d'incidence et l'introduction naturelle d'une distance poss#233;dant toutes les propri#233;t#233;s communes d#233;j#224; connues des #233;l#232;ves entrant en sixi#232;me, l'axiome de l'in#233;galit#233; triangulaire ne fera que valider une phrase pleine de bon sens et du reste souvent entendue sur les bancs des #233;coles : #171; Le plus court chemin d'un point #224; un autre est la ligne droite #187;. L'introduction des m#233;diatrices de segments et des sym#233;tries axiales permettent de disposer de r#233;sultats importants qui seront sans cesse utilis#233;s au coll#232;ge au cours des d#233;monstrations. Des pliages et des trac#233;s de figures permettent de v#233;rifier manuellement et visuellement toutes les propri#233;t#233;s des sym#233;tries axiales Les programmes du coll#232;ge sont depuis longtemps bas#233;s sur l'#233;tude de la sym#233;trie axiale et du rectangle en sixi#232;me, suivie de celle de la sym#233;trie centrale et du parall#233;logramme en cinqui#232;me, avant l'introduction du Th#233;or#232;me de la droite des milieux, du Th#233;or#232;me de Thal#232;s et du Th#233;or#232;me de Pythagore en quatri#232;me. Ce n'est qu'en troisi#232;me que l'on aborde la r#233;ciproque du Th#233;or#232;me de Thal#232;s.
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Ce livre est une invitation #224; revisiter les fondamentaux concernant l'alg#232;bre lin#233;aire. Il s'adresse #224; tous ceux qui poss#232;dent d#233;j#224; une certaine culture math#233;matique, mais disposent de peu de temps pour faire le point sur les bases sans sacrifier la rigueur de l'expos#233; et sans #233;viter d'avoir acc#232;s #224; des d#233;monstrations d#233;taill#233;es. Ce livre est le d#233;but d'un cours d'alg#232;bre lin#233;aire que l'on peut suivre en licence, et qui va droit #224; l'essentiel. Il ne lui manque que des exercices d'application et les travaux dirig#233;s en salle pour s'entra#238;ner sur des #233;nonc#233;s vari#233;s et progressifs. Ce cours s'ins#232;re dans une s#233;rie de 5 lectures sur l'alg#232;bre lin#233;aire publi#233;es dans le cadre de la collection des DOSSIERS MATHEMATIQUES. Il s'agit du premier opus qui sera suivi des autres au fur et #224; mesure des parutions. Le lecteur qui d#233;sire r#233;viser l'ensemble des fondamentaux d'alg#232;bre lin#233;aire pourra lire les volumes de la collection dans le #171; bon ordre #187; suivant : 1) Introduction #224; l'alg#232;bre lin#233;aire (DM n#176;004). 2) Matrices. 3) Dualit#233; en alg#232;bre lin#233;aire (DM n#176;002). 4) D#233;terminants et syst#232;mes lin#233;aires (DM n#176;005). 5) R#233;duction d'endomorphismes. Cette Introduction #224; l'alg#232;bre lin#233;aire, qui traite du tout d#233;but de la th#233;orie, permet de : - red#233;finir les espaces vectoriels et revisiter les d#233;finitions classiques ; - rappeler comment la relation d'#233;quipollence a permis de faire surgir historiquement le concept de vecteurs ; - r#233;viser les notions de sous-espaces vectoriels engendr#233;s et de somme de sous-espaces ; - rappeler et d#233;montrer les deux th#233;or#232;mes fondamentaux de la th#233;orie que sont le th#233;or#232;me de la base incompl#232;te et le th#233;or#232;me de la dimension ; - organiser ses connaissances autour de r#233;sultats classiques et primordiaux, en pistant des r#233;sultats utiles pour chercher et r#233;diger des probl#232;mes d'annales ou r#233;pondre #224; des questions simples qui viseraient #224; d#233;terminer si l'on conna#238;t parfaitement les bases ; - revoir ce qu'il faut conna#238;tre par c#339;ur sur les applications lin#233;aires, la d#233;composition canonique d'une application lin#233;aire, le th#233;or#232;me du rang et ses cons#233;quences ; - r#233;viser ce que l'on doit savoir sur le bout des doigts quand on parle de projections, de sym#233;tries vectorielles ou d'homoth#233;ties vectorielles. Ces chapitres qui permettent d'aller droit au but, permettront aussi #224; l'amoureux des math#233;matiques de s'immerger pour le plaisir dans les belles contr#233;es de l'alg#232;bre lin#233;aire...
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Ce livre est une invitation #224; revisiter les fondamentaux concernant l'alg#232;bre lin#233;aire. Il s'adresse #224; tous ceux qui poss#232;dent d#233;j#224; une certaine culture math#233;matique, mais disposent de peu de temps pour faire le point sur les bases sans sacrifier la rigueur de l'expos#233; et sans #233;viter d'avoir acc#232;s #224; des d#233;monstrations d#233;taill#233;es. Ce livre est le d#233;but d'un cours d'alg#232;bre lin#233;aire que l'on peut suivre en licence, et qui va droit #224; l'essentiel. Il ne lui manque que des exercices d'application et les travaux dirig#233;s en salle pour s'entra#238;ner sur des #233;nonc#233;s vari#233;s et progressifs. Ce cours s'ins#232;re dans une s#233;rie de 5 lectures sur l'alg#232;bre lin#233;aire publi#233;es dans le cadre de la collection des DOSSIERS MATHEMATIQUES. Il s'agit du premier opus qui sera suivi des autres au fur et #224; mesure des parutions. Le lecteur qui d#233;sire r#233;viser l'ensemble des fondamentaux d'alg#232;bre lin#233;aire pourra lire les volumes de la collection dans le #171; bon ordre #187; suivant : 1) Introduction #224; l'alg#232;bre lin#233;aire (DM n#176;004). 2) Matrices. 3) Dualit#233; en alg#232;bre lin#233;aire (DM n#176;002). 4) D#233;terminants et syst#232;mes lin#233;aires (DM n#176;005). 5) R#233;duction d'endomorphismes. Cette Introduction #224; l'alg#232;bre lin#233;aire, qui traite du tout d#233;but de la th#233;orie, permet de : - red#233;finir les espaces vectoriels et revisiter les d#233;finitions classiques ; - rappeler comment la relation d'#233;quipollence a permis de faire surgir historiquement le concept de vecteurs ; - r#233;viser les notions de sous-espaces vectoriels engendr#233;s et de somme de sous-espaces ; - rappeler et d#233;montrer les deux th#233;or#232;mes fondamentaux de la th#233;orie que sont le th#233;or#232;me de la base incompl#232;te et le th#233;or#232;me de la dimension ; - organiser ses connaissances autour de r#233;sultats classiques et primordiaux, en pistant des r#233;sultats utiles pour chercher et r#233;diger des probl#232;mes d'annales ou r#233;pondre #224; des questions simples qui viseraient #224; d#233;terminer si l'on conna#238;t parfaitement les bases ; - revoir ce qu'il faut conna#238;tre par c#339;ur sur les applications lin#233;aires, la d#233;composition canonique d'une application lin#233;aire, le th#233;or#232;me du rang et ses cons#233;quences ; - r#233;viser ce que l'on doit savoir sur le bout des doigts quand on parle de projections, de sym#233;tries vectorielles ou d'homoth#233;ties vectorielles. Ces chapitres qui permettent d'aller droit au but, permettront aussi #224; l'amoureux des math#233;matiques de s'immerger pour le plaisir dans les belles contr#233;es de l'alg#232;bre lin#233;aire...
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Ce livre, qui permet de revisiter les th#233;or#232;mes de g#233;om#233;trie pr#233;sent#233;s au coll#232;ge et se replonger dans les d#233;monstrations que l'on peut proposer #224; ce niveau, nous m#232;ne beaucoup plus loin en s'autorisant #224; d#233;passer le cadre strict du coll#232;ge pour analyser ces th#232;mes et r#233;fl#233;chir sur la validit#233; des preuves propos#233;es. Il s'adresse en priorit#233; aux enseignants et aux #233;tudiants en licence de math#233;matiques qui d#233;sirent revoir en profondeur les th#232;mes g#233;om#233;triques du coll#232;ge en utilisant leurs connaissances et en exer#231;ant leur esprit critique. Ce livre d#233;veloppe aussi une axiomatique simplifi#233;e adapt#233;e aux premiers pas dans cette discipline, qui satisfera l'enseignant et permettra de penser la progression sur les quatre ann#233;es du coll#232;ge. On y trouvera aussi : - des r#233;flexions sur la fa#231;on de pr#233;senter et d'expliquer les notions #224; ce niveau, comme par exemple cette pr#233;sentation des quadrilat#232;res usuels qui s'enseigne tr#232;s bien en sixi#232;me et cinqui#232;me en facilitant la compr#233;hension des #233;l#232;ves. - des r#233;ponses #224; certaines questions sur la l#233;gitimit#233; des d#233;finitions propos#233;es, comme cette d#233;finition d'un cosinus d'un angle aigu qui d#233;pendrait du triangle rectangle utilis#233;. - une analyse des simplifications et des abus de langage utilis#233;s pour simplifier le discours #224; ce niveau, par exemple #224; l'occasion de la d#233;finition d'un angle g#233;om#233;trique ou d'un arc intercept#233; par un angle au centre. - des preuves compl#232;tes et d#233;velopp#233;es, avec des compl#233;ments d'information et de nombreuses remarques. Un chapitre complet sur l'utilisation des aires comme un outil de d#233;monstration et une annexe cons#233;quente compl#232;tent cet ouvrage. Apr#232;s les premiers axiomes d'incidence et l'introduction naturelle d'une distance poss#233;dant toutes les propri#233;t#233;s communes d#233;j#224; connues des #233;l#232;ves entrant en sixi#232;me, l'axiome de l'in#233;galit#233; triangulaire ne fera que valider une phrase pleine de bon sens et du reste souvent entendue sur les bancs des #233;coles : #171; Le plus court chemin d'un point #224; un autre est la ligne droite #187;. L'introduction des m#233;diatrices de segments et des sym#233;tries axiales permettent de disposer de r#233;sultats importants qui seront sans cesse utilis#233;s au coll#232;ge au cours des d#233;monstrations. Des pliages et des trac#233;s de figures permettent de v#233;rifier manuellement et visuellement toutes les propri#233;t#233;s des sym#233;tries axiales Les programmes du coll#232;ge sont depuis longtemps bas#233;s sur l'#233;tude de la sym#233;trie axiale et du rectangle en sixi#232;me, suivie de celle de la sym#233;trie centrale et du parall#233;logramme en cinqui#232;me, avant l'introduction du Th#233;or#232;me de la droite des milieux, du Th#233;or#232;me de Thal#232;s et du Th#233;or#232;me de Pythagore en quatri#232;me. Ce n'est qu'en troisi#232;me que l'on aborde la r#233;ciproque du Th#233;or#232;me de Thal#232;s.
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