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Les ouvrages de cette collection s'adressent aux étudiants de second cycle universitaire et agrégatifs de mathématiques. Le but poursuivi est de donner de solides connaissances de base, avec le souci de rigueur indispensable à la formation de l'esprit scientifique. On a donc fait le choix d'une présentation simple et réduite à l'essentiel des concepts fondamentaux enseignés en licence ou en maîtrise de mathématiques et qui figurent dans les programmes officiels du CAPES ou de l'Agrégation.
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Ce livre est une invitation #224; revisiter les fondamentaux concernant l'alg#232;bre lin#233;aire. Il s'adresse #224; tous ceux qui poss#232;dent d#233;j#224; une certaine culture math#233;matique, mais disposent de peu de temps pour faire le point sur les bases sans sacrifier la rigueur de l'expos#233; et sans #233;viter d'avoir acc#232;s #224; des d#233;monstrations d#233;taill#233;es. Ce livre est le d#233;but d'un cours d'alg#232;bre lin#233;aire que l'on peut suivre en licence, et qui va droit #224; l'essentiel. Il ne lui manque que des exercices d'application et les travaux dirig#233;s en salle pour s'entra#238;ner sur des #233;nonc#233;s vari#233;s et progressifs. Ce cours s'ins#232;re dans une s#233;rie de 5 lectures sur l'alg#232;bre lin#233;aire publi#233;es dans le cadre de la collection des DOSSIERS MATHEMATIQUES. Il s'agit du premier opus qui sera suivi des autres au fur et #224; mesure des parutions. Le lecteur qui d#233;sire r#233;viser l'ensemble des fondamentaux d'alg#232;bre lin#233;aire pourra lire les volumes de la collection dans le #171; bon ordre #187; suivant : 1) Introduction #224; l'alg#232;bre lin#233;aire (DM n#176;004). 2) Matrices. 3) Dualit#233; en alg#232;bre lin#233;aire (DM n#176;002). 4) D#233;terminants et syst#232;mes lin#233;aires (DM n#176;005). 5) R#233;duction d'endomorphismes. Cette Introduction #224; l'alg#232;bre lin#233;aire, qui traite du tout d#233;but de la th#233;orie, permet de : - red#233;finir les espaces vectoriels et revisiter les d#233;finitions classiques ; - rappeler comment la relation d'#233;quipollence a permis de faire surgir historiquement le concept de vecteurs ; - r#233;viser les notions de sous-espaces vectoriels engendr#233;s et de somme de sous-espaces ; - rappeler et d#233;montrer les deux th#233;or#232;mes fondamentaux de la th#233;orie que sont le th#233;or#232;me de la base incompl#232;te et le th#233;or#232;me de la dimension ; - organiser ses connaissances autour de r#233;sultats classiques et primordiaux, en pistant des r#233;sultats utiles pour chercher et r#233;diger des probl#232;mes d'annales ou r#233;pondre #224; des questions simples qui viseraient #224; d#233;terminer si l'on conna#238;t parfaitement les bases ; - revoir ce qu'il faut conna#238;tre par c#339;ur sur les applications lin#233;aires, la d#233;composition canonique d'une application lin#233;aire, le th#233;or#232;me du rang et ses cons#233;quences ; - r#233;viser ce que l'on doit savoir sur le bout des doigts quand on parle de projections, de sym#233;tries vectorielles ou d'homoth#233;ties vectorielles. Ces chapitres qui permettent d'aller droit au but, permettront aussi #224; l'amoureux des math#233;matiques de s'immerger pour le plaisir dans les belles contr#233;es de l'alg#232;bre lin#233;aire...
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Ce volume 6 des DOSSIERS MATHEMATIQUES permet de revisiter quatre grands th#233;or#232;mes d'analyse : le th#233;or#232;me des valeurs interm#233;diaires, le th#233;or#232;me des fonctions r#233;ciproques, le th#233;or#232;me de Rolle et celui des accroissements finis d#233;clin#233; en plusieurs versions suivant les choix des ensembles de d#233;part et d'arriv#233;e. Comme toujours dans cette collection, nous irons #224; l'essentiel en proposant des #233;nonc#233;s pr#233;cis suivis de d#233;monstrations explicites, et en donnant toutes les pr#233;cisions qui nous sembleront utiles pour mieux comprendre, et donc mieux retenir, ces r#233;sultats. On proposera des exemples et des contre-exemples, des applications d#232;s que cela est possible, et une trentaine d'exercices pour la mise en pratique. Ce livre est adapt#233; pour r#233;viser cette partie du programme d'analyse quand on pr#233;pare des concours. Il permet de s'approprier des d#233;monstrations classiques indispensables pour disposer d'une bonne culture math#233;matique. Il regroupe aussi au m#234;me endroit des applications de ces th#233;or#232;mes. Le niveau retenu pour profiter de ce travail est celui de la licence de math#233;matiques.
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Ce troisi#232;me volume de la collection DOSSIERS MATHEMATIQUES propose une introduction aux probabilit#233;s : g#233;n#233;ralit#233;s, d#233;finitions usuelles, probabilit#233;s conditionnelles, variables al#233;atoires r#233;elles, sch#233;ma de Bernoulli et loi binomiale. Ce cours, qui se suffit #224; lui-m#234;me, est agr#233;ment#233; de 42 exercices et de nombreux exemples qui rendent les notions introduites beaucoup plus palpables, et donnent l'occasion au lecteur de chercher une solution avant de la lire. Il s'agit des bases concernant le calcul des probabilit#233;s. Une culture math#233;matique g#233;n#233;rale suffit pour profiter de ce livre r#233;dig#233; pour pouvoir #234;tre lu facilement, tout en pr#233;sentant le sujet de fa#231;on construite et rigoureuse. Le texte propos#233; est celui des chapitres 2 #224; 4 de mon livre intitul#233; Cahiers de math#233;matiques du sup#233;rieur, paru en 2010. Ce texte a #233;t#233; revu, corrig#233;, augment#233; et adapt#233; #224; cette nouvelle #233;dition. Le format de cette nouvelle collection permettra #224; qui le d#233;sire d'avoir un acc#232;s direct #224; ces chapitres probabilistes, sans la n#233;cessit#233; de s'#233;quiper d'un livre portant sur d'autres sujets.
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Ce livre propose un panorama pr#233;cis des diff#233;rentes m#233;thodes de raisonnement que l'on rencontre en math#233;matiques. Les syllogismes d'Aristote sont le point de d#233;part d'un voyage dans les contr#233;es du raisonnement d#233;ductif et de son utilisation. D'autres modes de raisonnements seront abord#233;s, comme les raisonnements inductifs et abductifs, pour arriver #224; mieux comprendre la particularit#233; des sciences logico-d#233;ductives. Agr#233;ment#233; de 74 exemples propos#233;s sous forme d'exercices de difficult#233;s vari#233;es, corrig#233;s et comment#233;s avec soin, ce septi#232;me volume de la collection des DOSSIERS MATHEMATIQUES est l'occasion de faire le point sur les m#233;thodes dont on dispose en math#233;matiques pour chercher, raisonner, et r#233;diger. La plupart des exercices propos#233;s demandent d'avoir au moins suivi la fili#232;re scientifique des lyc#233;es, m#234;me si des connaissances math#233;matiques des deux premi#232;res ann#233;es de licence sont souhaitables pour une lecture facilit#233;e de certains passages. Comme l'a #233;crit Epicure dans sa Lettre #224; M#233;n#233;c#233;e : #171; Il vaut mieux #233;chouer par mauvaise fortune, apr#232;s avoir bien raisonn#233;, que r#233;ussir par heureuse fortune, apr#232;s avoir mal raisonn#233; #187;. Mais que veut dire #171; bien raisonner #187; ? Apr#232;s un premier chapitre qui rappelle ce que sont les syllogismes, les paralogismes et les sophismes, on trouvera une description concise du raisonnement d#233;ductif, avec quelques rappels concernant les tables de v#233;rit#233;, les pr#233;dicats et les quantificateurs. Le chapitre 3 d#233;crit sept raisonnements tr#232;s utilis#233;s en math#233;matiques : - Raisonner directement en d#233;duisant syst#233;matiquement les affirmations les unes des autres est un moyen de proc#233;der, m#234;me s'il s'av#232;re judicieux de casser ce sch#233;ma pour permettre d'#234;tre plus cr#233;atif, par exemple en commen#231;ant par la conclusion. - Raisonner par disjonction de cas est parfois incontournable, comme le sugg#232;re un paradoxe de Lewis Carroll ou l'exercice sur les chevaliers et les gueux. - Un contre-exemple suffit pour infirmer une propri#233;t#233; pr#233;sent#233;e comme g#233;n#233;rale. - Raisonner par contrapos#233;e peut #234;tre utile, mais l'int#233;r#234;t majeur de la prise de la contrapos#233;e d'une implication r#233;side plut#244;t dans la capacit#233; de r#233;#233;crire une affirmation de fa#231;on totalement nouvelle et insoup#231;onn#233;e. - Le raisonnement par l'absurde remplace avec bonheur l'utilisation de la contrapos#233;e en offrant plus de souplesse et de libert#233;. On se posera cependant la question de savoir pourquoi le raisonnement par l'absurde est souvent mal aim#233; quand il s'agit d'#233;crire une d#233;monstration. - Il est impossible de se passer du raisonnement par analyse-synth#232;se tant celui-ci permet de d#233;buter une recherche tout en offrant une m#233;thode de construction des objets auxquels on s'int#233;resse. - En dernier lieu, on #233;tudiera le raisonnement par r#233;currence qui donne un sens #224; des propositions qui touchent #224; une infinit#233; de d#233;clarations. Un dernier chapitre s'int#233;resse #224; l'enseignement du raisonnement, qu'il ne faut pas trop vite confondre avec la pratique de la d#233;monstration. L'apprentissage du raisonnement devrait #234;tre l'un des objectifs principaux de l'enseignement des math#233;matiques, conjointement #224; l'acquisition de tout un panel de savoirs structur#233;s construits sur des r#233;sultats que l'on aura d#233;montr#233;s, ou du moins justifi#233;s de la fa#231;on la plus rigoureuse possible #224; un niveau d'enseignement donn#233;.
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Ces contr#244;les et bacs blancs sont le fruit d'un travail de trois ann#233;es depuis la r#233;forme de 2012. Durant ces trois ans, Paul Milan s'est efforc#233; de pr#233;senter et d#8217;#233;crire enti#232;rement et en d#233;tail les corrections des contr#244;les et des bacs blancs qu'il a pos#233;s #224; ses #233;l#232;ves. Ces nombreux exercices aideront les aspirants bacheliers, jeunes ou plus #226;g#233;s, #224; travailler en d#233;tail les diff#233;rentes parties du programme et #224; poursuivre dans l#8217;#233;tude des math#233;matiques.
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Les ouvrages de cette collection s'adressent aux étudiants de second cycle universitaire et agrégatifs de mathématiques. Le but poursuivi est de donner de solides connaissances de base, avec le souci de rigueur indispensable à la formation de l'esprit scientifique. On a donc fait le choix d'une présentation simple et réduite à l'essentiel des concepts fondamentaux enseignés en licence ou en maîtrise de mathématiques et qui figurent dans les programmes officiels du CAPES ou de l'Agrégation.
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